Repartos proporcionales.

Un reparto proporcional es un método para dividir una cantidad entre varias partes de manera que cada parte recibida esté en la misma proporción que su tamaño en relación con el tamaño total. Por ejemplo, si tenemos una cantidad de 100 y queremos repartirla entre dos partes de manera proporcional, podríamos dar a cada parte 50, ya que 50 es la mitad de 100 y las dos partes recibirían la misma proporción en relación con el total.

Existen diferentes tipos de repartos proporcionales, dependiendo del enfoque que se utilice para dividir la cantidad. Algunos ejemplos comunes de repartos proporcionales son:

Reparto proporcional por tamaño: en este caso, se divide la cantidad entre las partes de acuerdo al tamaño de cada una. Por ejemplo, si tenemos una cantidad de 100 y queremos dividirla entre dos partes de tamaños 20 y 80, entonces la primera parte recibiría 20 y la segunda parte recibiría 80, ya que estas cantidades están en proporción con el tamaño de cada parte.
Reparto proporcional por porcentaje: en este caso, se divide la cantidad entre las partes de acuerdo a un porcentaje determinado. Por ejemplo, si tenemos una cantidad de 100 y queremos dividirla en dos partes en una proporción del 50%, entonces cada parte recibiría 50, ya que el 50% de 100 es 50.
Reparto proporcional por número: en este caso, se divide la cantidad entre las partes de acuerdo al número de partes. Por ejemplo, si tenemos una cantidad de 100 y queremos dividirla en tres partes, entonces cada parte recibiría 33,33, ya que 100 dividido entre 3 es 33,33.
Reparto proporcional por área: en este caso, se divide la cantidad entre las partes de acuerdo al área de cada parte. Por ejemplo, si tenemos una cantidad de 100 y queremos dividirla entre dos partes de áreas 10 y 20, entonces la primera parte recibiría 10 y la segunda parte recibiría 20, ya que estas cantidades están en proporción con el área de cada parte.

Ejemplos:

Aquí hay algunos ejemplos de enunciados que utilizan el concepto de reparto proporcional:

"Dividimos el pastel en tres partes de manera proporcional, para que cada persona reciba una porción en relación con su tamaño en comparación con el tamaño total del pastel."
"Repartimos la comida entre los perros en proporción al peso de cada uno, para que cada perro reciba una cantidad adecuada en relación con su tamaño."
"Distribuimos el dinero entre los miembros del equipo en una proporción del 50%, para que cada uno reciba la misma cantidad en relación con el total."
"Dividimos el terreno en dos partes de manera proporcional, en función del área de cada una, para que cada parte reciba una cantidad adecuada en relación con su tamaño."

Como solucionar este tipo de problemas:

Repartos proporcionales directos:

Si tenemos un total de 50 galones de agua que debemos repartir entre tres personas de manera proporcional a sus edades (20 años, 30 años y 40 años), ¿cuántos galones recibirá cada persona?

Solución: Primero debemos calcular el total de unidades de proporción que hay en este caso, que sería 20+30+40=9020 + 30 + 40 = 9020+30+40=90 unidades de proporción. Luego, para calcular cuántos galones recibirá cada persona, debemos multiplicar el número de unidades de proporción que corresponden a su edad por el total de galones, y luego dividir ese resultado entre el total de unidades de proporción. En este caso, la persona de 20 años recibiría (20×50)90=11.11\frac{(20 \times 50)}{90} = 11.1190(20×50)=11.11 galones, la persona de 30 años recibiría (30×50)90=16.67\frac{(30 \times 50)}{90} = 16.6790(30×50)=16.67 galones, y la persona de 40 años recibiría (40×50)90=22.22\frac{(40 \times 50)}{90} = 22.2290(40×50)=22.22 galones.

Si tenemos un total de $500 en ganancias que debemos repartir entre tres empleados de manera proporcional a sus horas trabajadas (10 horas, 20 horas y 30 horas), ¿cuánto dinero recibirá cada empleado?

Solución: Primero debemos calcular el total de unidades de proporción que hay en este caso, que sería 10+20+30=6010 + 20 + 30 = 6010+20+30=60 unidades de proporción. Luego, para calcular cuánto dinero recibirá cada empleado, debemos multiplicar el número de unidades de proporción que corresponden a sus horas trabajadas por el total de ganancias, y luego dividir ese resultado entre el total de unidades de proporción. En este caso, el empleado que trabajó 10 horas recibiría (10×500)60=83.3\frac{(10 \times 500)}{ 60} = 83.360(10×500)=83.3, el empleado que trabajó 20 horas recibiría (20×500)60=166.67\frac{(20 \times 500)}{60} = 166.6760(20×500)=166.67, y el empleado que trabajó 30 horas recibiría (30×500)60=250\frac{(30 \times 500)}{60} = 25060(30×500)=250.

Repartos proporcionales inversos:

Un reparto proporcional inverso se refiere a una situación en la que se distribuyen cantidades de algo de manera que las porciones recibidas por cada persona o grupo sean inversamente proporcionales a una cantidad específica. En otras palabras, mientras más grande sea la cantidad específica, menor será la porción recibida. Aquí hay algunos ejemplos de enunciados de repartos proporcionales inversos y sus soluciones detalladas:

Si tenemos un total de 50 galones de agua que debemos repartir entre tres personas de manera inversamente proporcional a sus edades (20 años, 30 años y 40 años), ¿cuántos galones recibirá cada persona?

Solución: Primero debemos calcular el total de unidades de proporción que hay en este caso, que sería 1/20+1/30+1/40=13/1201/20 + 1/30 + 1/40 = 13/1201/20+1/30+1/40=13/120 unidades de proporción. Luego, para calcular cuántos galones recibirá cada persona, debemos multiplicar el número de unidades de proporción que corresponden a su edad por el total de galones, y luego dividir ese resultado entre el total de unidades de proporción. En este caso, la persona de 20 años recibiría

(120×50)(13120)=23.07\frac{(\frac{1}{20} \times 50)}{(\frac{13}{120})} = 23.07(12013)(201×50)=23.07 galones, la persona de 30 años recibiría

(130×50)(13120)=15.38\frac{(\frac{1}{30} \times 50)}{(\frac{13}{120})} = 15.38(12013)(301×50)=15.38 galones, y la persona de 40 años recibiría

(140×50)(13120)=11.53\frac{(\frac{1}{40} \times 50)}{(\frac{13}{120})} = 11.53(12013)(401×50)=11.53 galones.

Si tenemos un total de $500 en ganancias que debemos repartir entre tres empleados de manera inversamente proporcional a sus horas trabajadas (10 horas, 20 horas y 30 horas), ¿cuánto dinero recibirá cada empleado?

Solución: Primero debemos calcular el total de unidades de proporción que hay en este caso, que sería 1/10+1/20+1/30=11/601/10 + 1/20 + 1/30 = 11/601/10+1/20+1/30=11/60 unidades de proporción. Luego, para calcular cuánto dinero recibirá cada empleado, debemos multiplicar el número de unidades de proporción que corresponden a sus horas trabajadas por el total de ganancias, y luego dividir ese resultado entre el total de unidades de proporción. En este caso, el empleado que trabajó 10 horas recibiría

(110×500)(1160)=272.72\frac{(\frac{1}{10} \times 500)}{(\frac{11}{60})} = 272.72(6011)(101×500)=272.72,

el empleado que trabajó 20 horas recibiría

(120×500)(1160)=136.36\frac{(\frac{1}{20}\times 500)}{(\frac{11}{60})} = 136.36(6011)(201×500)=136.36,

y el empleado que trabajo 30 horas recibiría

(130×500)(1160)=90.90\frac{(\frac{1}{30}\times 500)}{(\frac{11}{60})} = 90.90(6011)(301×500)=90.90

¿Cómo identificar si una proporción es directa o inversa?

Una forma sencilla de verificar que una proporción es directa es realizando la siguiente oración con las variables involucradas:

"A mayor (variable 1) se obtiene/produce/genera mayor (variable 2)"

Por otra parte, si se quiere saber si una proporción es inversa de manera similar construye la siguiente oración:

"A mayor (variable 1) se obtiene/produce/genera menor (variable 2)"

Si el resultado de las anteriores oraciones carece de sentido con las variables dadas, intenta intercambiarlas de lugar en la oración o cambiar el verbo intermedio.

Ejemplo:

Si tomamos el primer ejemplo de repartos proporcionales directos observemos que es una relación directa porque:

Variables:

Número de galones de agua.
Edades.

Luegola oración generada con las anteriores variables es:

"A mayor número de galones de agua mayor edad".

Pareciera que nuestra anterior oración no tiene sentido, intentemos intercambiar las variables:

"A mayor edad mayor número de galones de agua"

La anterior si tiene sentido en el contexto del problema planteado, luego concluimos que es una relación directa.

Si bien en el anterior problema practicamente nos indica que hay una relación directa, existen muchos otros escenarios en donde no es clara esta relación entre variables.